Ketaksamaan Power Mean
(Diperbarui:
)
-
Posting Komentar
Kita definisikan bentuk ketaksamaan Power Mean, sebagai berikut.
Misalkan $\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}$ bilangan-bilangan real positif. Jika $\displaystyle r\ne 0$
maka $$\displaystyle {{P}_{r}}=\sqrt[r]{\frac{{{x}_{1}}^{r}+{{x}_{2}}^{r}+...+{{x}_{n}}^{r}}{n}}$$
Jika $\displaystyle r\to 0$, maka nilai $$\displaystyle {{P}_{r\to 0}}=\underset{r\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{x}_{1}}{{x}_{2}}...{{x}_{n}}}$$
Jika $\displaystyle r\to +\infty$, maka $$\displaystyle {{P}_{r\to \infty }}=maks({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})$$
Jika $\displaystyle r\to -\infty $, maka
$$\displaystyle {{P}_{r\to -\infty }}=\min ({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})$$
Sehingga dari hubungan-hubungan di atas, kita dapat simpulkan bahwa $$\displaystyle r\le s\Rightarrow {{P}_{r}}\le {{P}_{s}}$$ $$\displaystyle r\ge s\Rightarrow {{P}_{r}}\ge {{P}_{s}}$$
CONTOH SOAL: Jika $\displaystyle a,b,c,d$ bilangan-bilangan real positif dengan $\displaystyle abcd=81$, maka buktikan $$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+{{d}^{3}}}{4}}\ge 3$$
Bukti: Karena bentuk pertidaksamaan di atas adalah bentuk ketidaksamaan power mean dengan $r = 3$, maka dari definisi ketaksamaan power mean kita dapat tuliskan sebagai berikut:
Ambil $\displaystyle s = 0, s < r $ sehingga menurut definisi PM berlaku $$\displaystyle {{P}_{r}}\ge {{P}_{s}}$$ $$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+{{d}^{3}}}{4}}\ge \sqrt[4]{abcd}$$ $$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+{{d}^{3}}}{4}}\ge \sqrt[4]{81}$$ $$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+{{d}^{3}}}{4}}\ge 3$$
(Terbukti)
Sumber: https://elfdemore.wordpress.com/2018/07/22/ketaksamaan-power-mean
Misalkan $\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}$ bilangan-bilangan real positif. Jika $\displaystyle r\ne 0$
maka $$\displaystyle {{P}_{r}}=\sqrt[r]{\frac{{{x}_{1}}^{r}+{{x}_{2}}^{r}+...+{{x}_{n}}^{r}}{n}}$$
Jika $\displaystyle r\to 0$, maka nilai $$\displaystyle {{P}_{r\to 0}}=\underset{r\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{x}_{1}}{{x}_{2}}...{{x}_{n}}}$$
Jika $\displaystyle r\to +\infty$, maka $$\displaystyle {{P}_{r\to \infty }}=maks({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})$$
Jika $\displaystyle r\to -\infty $, maka
$$\displaystyle {{P}_{r\to -\infty }}=\min ({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})$$
Sehingga dari hubungan-hubungan di atas, kita dapat simpulkan bahwa $$\displaystyle r\le s\Rightarrow {{P}_{r}}\le {{P}_{s}}$$ $$\displaystyle r\ge s\Rightarrow {{P}_{r}}\ge {{P}_{s}}$$
CONTOH SOAL: Jika $\displaystyle a,b,c,d$ bilangan-bilangan real positif dengan $\displaystyle abcd=81$, maka buktikan $$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+{{d}^{3}}}{4}}\ge 3$$
Bukti: Karena bentuk pertidaksamaan di atas adalah bentuk ketidaksamaan power mean dengan $r = 3$, maka dari definisi ketaksamaan power mean kita dapat tuliskan sebagai berikut:
Ambil $\displaystyle s = 0, s < r $ sehingga menurut definisi PM berlaku $$\displaystyle {{P}_{r}}\ge {{P}_{s}}$$ $$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+{{d}^{3}}}{4}}\ge \sqrt[4]{abcd}$$ $$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+{{d}^{3}}}{4}}\ge \sqrt[4]{81}$$ $$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+{{d}^{3}}}{4}}\ge 3$$
(Terbukti)
Sumber: https://elfdemore.wordpress.com/2018/07/22/ketaksamaan-power-mean
Langganan:
Posting Komentar (Atom)
Posting Komentar untuk "Ketaksamaan Power Mean"