Ketaksamaan QM AM GM HM

Dalam banyak kompetisi matematika, sering ditemui soal-soal ketaksamaan dimana Anda diminta untuk membuktikan apakah ketaksamaan dalam soal yang diberikan adalah benar. Maka pada kesempatan ini, kita akan membahas kataksamaan-ketaksamaan dalam matematika yang penting untuk digunakan dalam porses pembuktian.

# Ketaksamaan QM AM GM HM

Berikut ini adalah kepanjangannya masing-masing dari QM, AM, GM, dan HM.

• QM adalah Qudatratic Mean (Rataan Kuadrat)
• AM adalah Arithmetic Mean (Rataan Aritmatik / Rataan Hitung)
• GM adalah Geometric Mean (Rataan Geometrik / Rataan Ukur)
• HM adalah Harmonic Mean (Rataan Harmonik)

Berikut ini adalah bentuk dari dari QM, AM, GM, dan HM.

$QM = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}{n}}$

$AM = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$

$GM = \sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}$

$HM = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}$

dan ketaksmaan yang berlaku di antara mereka adalah $$QM \ge AM \ge GM \ge HM$$
Kesamaan terjadi jika dan hanya jika $x_1=x_2=...=x_n $

# Bukti Ketaksamaan QM AM GM HM

Sebagai ilustrasi, kita ambil n=2, yaitu jika $x_1=a, \ x_2=b$ bilangan real positif, maka $$\sqrt{ \frac{a^2+b^2}{2}} \ge \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \ge \frac{2}{\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}}$$
Karena kuadrat setiap bilangan real tak negatif, maka: $$\begin{align} (a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2 & \ge 0 \\ \Leftrightarrow a^2 + b^2 & \ge 2ab \end{align}$$
Kedua ruas ditambah $a^2 + b^2$ lalu dikalikan $2$ diperoleh:
\begin{align} 4(a^2 + b^2) & \ge 2(a^2 + 2ab + b^2) \\ \frac{a^2 + b^2}{2} & \ge \frac {a^2 + 2ab + b^2}{4} \\ \frac{a^2 + b^2}{2} & \ge \frac{(a+b)^2}{2^2} \\ \frac{a^2 + b^2}{2} & \ge (\frac{a+b}{2})^2 \\ \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} & \ge \frac{a+b}{2} \end{align}
Terbukti $QM \ge AM$

Karena kuadrat setiap bilangan real tak negatif maka:
\begin{align} ( \sqrt{a} - \sqrt{b} )^2 = a - 2 \sqrt{ab} + b & \ge 0 \\ \Leftrightarrow \frac{a+b}{2} & \ge \sqrt{ab} \end{align}
Terbukti $AM \ge GM$

Jika kedua ruas ketaksamaan di atas kita kalikan $\sqrt{ab}$ dan dibagi $(a+b)$ maka diperoleh:
\begin{align} \frac{\sqrt{ab}}{2} & \ge \frac{ab}{a+b} \\ \sqrt{ab} & \ge \frac{2ab}{a+b} \\
\sqrt{ab} & \ge \frac{2}{\frac{a+b}{ab}} \\ \Leftrightarrow \sqrt{ab} & \ge \frac{2}{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \end{align}
Terbukti $GM \ge HM $

Catatan: Untuk $n > 2$, kita buktikan dengan cara induksi matematika. Bagi Anda yang belum tahu caranya, silahkan baca pada Cara Mengerjakan Soal Induksi Matematika.

# Contoh Soal Ketaksamaan

Soal 1: Jika a, b, c bilangan-bilangan positif, tunjukkan bahwa $(a+b+c)^3 \ge 27abc$

Jawab: Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, diperoleh: $$\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc} \\ (a+b+c)^3 \ge 27abc$$
Soal 2: Buktikan bahwa setiap bilangan real positif $x, \ y$ berlaku $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2$

Jawab: Misalkan $a= \frac{x}{y}$ dan $b= \frac{y}{x}$ pada ketaksamaan AM-GM maka diperoleh:
$$ \begin{align} \frac{ \frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{2} & \ge \sqrt{ \frac{x}{y} . \frac{y}{x} } \\ \frac{ \frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{2} & \ge 1 \\ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} & \ge 2 \end{align}$$
(SELESAI)